Δόνηση
1.4 Δόνηση
Béla Ι. Sandor με βοήθεια από τον Stephen M. Birn
Δόνηση σε μηχανήματα και οι δομές θα πρέπει να αναλυθούν και να ελέγχονται
εάν έχουν ανεπιθύμητα αποτελέσματα, όπως είναι ο θόρυβος, δυσάρεστες προτάσεις,
κόπωση ή ζημιά με δυνητικά καταστροφικές συνέπειες. Με-
versely, Δόνηση είναι μερικές φορές χρησιμοποιούνται για χρήσιμους σκοπούς,
όπως για συμπίεση υλικών.
Undamped Ελεύθερη και εξαναγκασμένη Ταλαντώσεις
Το πιο απλό σύστημα δόνησης έχει κίνηση ενός βαθμού ελευθερίας
(DOF) περιγράφεται από τον συντονισμό x στο σχήμα 1.4.1. (Μια ανάλογη
προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται για την στρεπτική Δόνηση, με παρόμοια αποτελέσματα.)
ΕΙΚΟΝΑ 1.4.1 Υπόδειγμα ένα απλό σύστημα δόνησης.
Υποθέτοντας ότι η άνοιξη δεν έχει μάζα και ότι δεν υπάρχει απόσβεση σε
το σύστημα, η εξίσωση κίνησης για την ελεύθερη δόνηση
(κίνηση στο πλαίσιο της εσωτερικής δυνάμεις μόνο; F = 0) είναι
όπου 
= Φυσική κυκλική συχνότητα σε rad / sec.
Η μετατόπιση x ως συνάρτηση του χρόνου t είναι
όπου C1 και C2 είναι σταθερές, ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες
της κίνησης. Εναλλακτικά,
όπου C1 = ACOS?, C2 = Asin?, και ? είναι η γωνία φάσης, άλλο
σταθερός. Ο πλήρης κύκλος της κίνησης γίνεται σε χρόνο ?,
η περίοδος της απλής αρμονικής κίνησης,
Η συχνότητα σε μονάδες κύκλους ανά δευτερόλεπτο (cps) ή hertz (Hz) είναι f = 1 /?.
Η απλούστερη περίπτωση της καταναγκαστική δόνηση μοντελοποιείται στο σχήμα 1.4.1,
με τη δύναμη F included. Using typical simplifying assumptions as above,
the equation of motion for a harmonic δύναμη of forcing
frequency ?,
Το Δόνηση of a mass m may also be induced by the displacement
d = dosin?t of a foundation or another mass M to which m is attached
by a spring k. Using the same reference point and axis for both
x and d, the equation of motion for m is
where do is the amplitude of δόνηση of the moving support M,
και ? is its frequency of motion. The general solution of the
καταναγκαστική δόνηση in the steady state (after the initial, transient behavior)
is
where ? is the forcing frequency and ? is the natural circular
frequency of the system of m and k. Resonance. The amplitude of the
oscillations in καταναγκαστική Δόνηση depends on the frequency ratio ?/?.
Without damping or physical constraints, the amplitude would become
in?nite at ? = ?, the condition of resonance. Dangerously large
amplitudes may occur at resonance and at other frequency ratios near
the resonant frequency. A magni?cation factor is de?ned as
Several special cases of this are noted:
1. Static loading: ? = 0, ή ? ! ?; MF . 1.
2. Resonance: ? = ?; MF = ?.
3. High-frequency excitation: ? @ ?; MF . 0.
4. Phase relationships: The vibration is in phase for
? < ?, and it is 180? out of phase for ? > ?.
Damped Free and Forced Vibrations
Ένα vibrating system of one degree of freedom and damping is modeled
in Figure 1.4.2. The equation of motion for damped free
Δόνηση (F = 0) είναι
ΕΙΚΟΝΑ 1.4.2 Model of a damped vibrating system.
Η μετατόπιση x ως συνάρτηση του χρόνου t είναι
The value of the coef?cient of viscous damping c that makes the
radical zero is the critical damping coef?cient cc = 2m ?k /m = 2m?.
Three special cases of damped free Δόνηση are noted:
1. Overdamped system: C > cc; the motion is nonvibratory or aperiodic.
2. Critically damped system: c = cc; this motion is also nonvibratory;
x decreases at the fastest rate possible without oscillation of the mass.
3. Underdamped system: C < cc; the roots ?1,2 are complex numbers;
the displacement is
where A and ? είναι σταθερές, ανάλογα με τις αρχικές συνθήκες,
and the damped natural frequency is
The ratio c/cC is the damping factor ?. The damping in a system is
determined by measuring the rate of decay of free oscillations.
This is expressed by the logarithmic decrement ?, involving
any two successive amplitudes xΣε and x Σε+1,
The simplifying approximation for ? is valid for up to about 20%
damping (? . 0.2). The period of the damped vibration is ?d = 2?/?d.
It is a constant, but always larger than the period of the same system
without damping. In many real systems the damping is relatively small
(? < 0.2), where ?d . ? και ?d . ? can be used.
The equation of motion for damped καταναγκαστική Δόνηση
(Figure 1.4.2; F ? 0) is
The solution for steady-state δόνηση of the system is
where the amplitude and phase angle are from
The magni?cation factor for the amplitude of the oscillations is
This quantity is sketched as a function of the frequency ratio ?/?
for several damping factors in Figure 1.4.3. Note that the amplitude of
δόνηση is reduced at all values of ?/? if the coef?cient of damping
c is increased in a particular system.
ΕΙΚΟΝΑ 1.4.3 Magni?cation factor in damped forced vibration.
Top
δίπλα : E-book Mechanical_Engineering_Handbook
